Ensembles finis Exemples

$f (x) = - 3 x^{2} + 5 x + 8$

Étape 1

Le maximum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est négatif, la valeur maximale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{5}{2 (- 3)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{5}{2 (- 3)}$

Étape 2.3

Simplifiez $- \frac{5}{2 (- 3)}$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = - \frac{5}{- 6}$

Étape 2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - - \frac{5}{6}$

Étape 2.3.3

Multipliez $- - \frac{5}{6}$ .

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 (\frac{5}{6})$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $\frac{5}{6}$ par $1$ .

$x = \frac{5}{6}$

Étape 3

Évaluez $f (\frac{5}{6})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{5}{6}) = - 3 {(\frac{5}{6})}^{2} + 5 (\frac{5}{6}) + 8$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = - 3 \frac{5^{2}}{6^{2}} + 5 (\frac{5}{6}) + 8$

Étape 3.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = - 3 \frac{25}{6^{2}} + 5 (\frac{5}{6}) + 8$

Étape 3.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = - 3 (\frac{25}{36}) + 5 (\frac{5}{6}) + 8$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 (- 1) (\frac{25}{36}) + 5 (\frac{5}{6}) + 8$

Étape 3.2.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 \cdot (- 1 \frac{25}{3 \cdot 12}) + 5 (\frac{5}{6}) + 8$

Étape 3.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{6}) = 3 \cdot (- 1 \frac{25}{3 \cdot 12}) + 5 (\frac{5}{6}) + 8$

Étape 3.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{6}) = - 1 (\frac{25}{12}) + 5 (\frac{5}{6}) + 8$

Étape 3.2.1.5

Réécrivez $- 1 (\frac{25}{12})$ comme $- (\frac{25}{12})$ .

$f (\frac{5}{6}) = - (\frac{25}{12}) + 5 (\frac{5}{6}) + 8$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $5 (\frac{5}{6})$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Associez $5$ et $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{12} + \frac{5 \cdot 5}{6} + 8$

Étape 3.2.1.6.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{12} + \frac{25}{6} + 8$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $\frac{25}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{12} + \frac{25}{6} \cdot \frac{2}{2} + 8$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{25}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{12} + \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + 8$

Étape 3.2.2.3

Écrivez $8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{12} + \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{8}{1}$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{12} + \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{8}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{12} + \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{8 \cdot 12}{12}$

Étape 3.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $6 \cdot 2$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{12} + \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 6} + \frac{8 \cdot 12}{12}$

Étape 3.2.2.7

Multipliez $2$ par $6$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{12} + \frac{25 \cdot 2}{12} + \frac{8 \cdot 12}{12}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{- 25 + 25 \cdot 2 + 8 \cdot 12}{12}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $25$ par $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{- 25 + 50 + 8 \cdot 12}{12}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $8$ par $12$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{- 25 + 50 + 96}{12}$

Étape 3.2.5

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.5.1

Additionnez $- 25$ et $50$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 + 96}{12}$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $25$ et $96$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{121}{12}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $\frac{121}{12}$ .

$\frac{121}{12}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le maximum.

$(\frac{5}{6}, \frac{121}{12})$

Étape 5